Blog do Tornado

So, tired of this Applied Math course taking so long to finish, I’ve decided to spice things a bit. I decided to take 7 subjects this semester. The maximum I’ve taken before was 5 (I wasn’t yet working and failed at 3 I think u_u). But this craziness has a reason…

I love reading blogs about productivity and self-development because they inspire me a lot. And people always says to keep focus, single-task and so on.

I also learned to ignore the fails os subjects. In the beginning it annoyed me and depressed me when I failed any subject. Today I try to focus on the present. I have no idea if I’ll pursue the academic life, so *now* it doesn’t matter if I fail a lot of matters, only that I learn from them and pass them as soon as possible.

This is the reason I’ve decided to engage in this “suicide experiment” how I call it, lol. I also will try to apply a lot of productivity techniques (like keeping focus, keeping things organized) in order to accomplish the goal to pass as many subjects that I can.

I believe it will allow me to grow a lot in maturity with this experiment. One thing that inspired me to try this was my performance on my Japanese study at the vacation. I finally finished studying Remembering the Kanji, by James Heisig. I’ve learned to write approximately 1000 kanjis in a month and my recall-rate is still in the interval 80%~90%. I’ll try to apply the same memory techniques to my college studies as a personal experiment. And I intend to publish my results here. Wish me luck!

Na madrugada de ontem (16 de abril de 2009) foi lançado o site Wolfram Alpha, do mesmo criador do famoso software Mathematica. Muitos esperavam que o site surgisse como um substituto ao Google. Porém o site não possui o mesmo objetivo de busca que o Google, fato que acabou frustrando as expectativas de alguns. Na verdade ele está mais para um complemento ao Google que um rival.

Passei um tempo brincando no site e percebi que dá pra fazer muita coisa interessante, e assim resolvi publicar algumas sugestões de uso para auxiliar quem estuda matemática (focando nível de Ensino Médio e Vestibular), a partir de exemplos.

Exemplo 1: Sabendo que f é uma função de primeiro grau e que passa pelos pontos (3, 5) e (6, 1), encontre uma fórmula para f(x) e esboce seu gráfico.

Sugestão: Se f é de primeiro grau, sabe-se que f tem o formato f(x) = ax + b, ou seja, uma reta. E os pontos acima estão em cima do gráfico da função f, o que significa que eles devem obedecer à equação de f:

5 = a.(3) + b
1 = a.(6) + b

Podemos calcular os coeficientes a e b simplesmente resolvendo o sisteminha linear acima com incógnitas a e b. Depois montamos um gráfico, colocamos os dois pontos dados no gráfico e ligamos os dois por uma reta.

Agora usando o Wolfram, podemos checar se tudo isso que fizemos está correto.

O comando para construir uma reta que passa por dois pontos é

line (3,5) (6,1)

E então ele exibe um gráfico com o qual é possível comparar com o esboço da nossa solução no papel, e ainda exibe 2 diferentes tipos de fórmulas para f(x) (ele está chamando f(x) de y na resolução dele).

Note que as equações que ele exibe são as mesmas.

y = 9 - 4x/3
4x + 3y - 27 = 0

Para conferir, basta isolar y na equação de baixo que obtemos a equação de cima:

4x + 3y - 27 = 0
3y = 27 - 4x
y = 27/3 - 4x/3
y = 9 - 4x/3

Pronto!

Note que no final da página ele ainda exibe a distância entre os pontos (3, 5) e (6, 1) como sendo 5. Tenha isso em mente pois usaremos em outro exercício logo adiante.

 

Exemplo 2: Encontre a medida da corda formada pelos pontos de intersecção da reta de equação x - y - 1 = 0 e a circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio .

Sugestão: para encontrarmos a medida da corda, basta obtermos os dois pontos de intersecção. E para obtermos isso, basta resolver o sistema de equações:

{ x - y - 1 = 0
{ x2 + y2 = 13

Usando o Wolfram, podemos pedir para que ele resolva esse sistema usando o comando:

{x - y - 1 = 0, x^2 + y^2 = 13}

Potências na notação de texto em computador são representadas utilizando o símbolo de acento circunflexo (o “chapéu” ^). Então 2 elevado à 4 fica 2^4.

O Wolfram encontra 2 soluções:

(-2, -3) e (3, 2)

De fato, esses são os pontos em que a reta dada intersecta a circunferência dada.

Agora basta calcular a distância entre eles usando o comando que utilizamos acima para traçar uma reta entre os dois pontos:

line (-2,-3) (3,2)

Rolamos a tela direto para o final em busca da distância entre os pontos: 5.sqrt(2)

 

Exemplo 3: O determinante da matriz é?

Sugestão: depois de realizar as contas, cheque o resultado com o comando para calcular determinantes:

det{{sin x, sin x, cot x}, {cos x, cos x, -1}, {0, sin x, tan x}}

A resposta que ele dá é sin2x + cos2x, que nada mais é do que 1 de acordo com a relação fundamental da trigonometria.

Em inglês, as funções seno, co-seno, tangente, co-tangente, secante e co-secante são respectivamente abreviadas como: sin (sine), cos (cosine), tan (tangent), cot (cotangent), sec (secant), csc (cosecant).

Na notação de matriz do Wolfram, cada par de chaves interno representa uma linha da matriz. E todas as linhas são envolvidas por um par de chaves externo:

{{1, 2}, {3, 4}}

 

Exemplo 4: Simplifique n! / (n-2)!

Sugestão: depois de fazer várias e várias contas com letras, se perder e tudo mais, é uma boa checar se conseguimos chegar num resultado correto.

Minha resolução ficaria:

n! / (n-2)! =
(n)(n-1)(n-2)! / (n-2)! =
(n)(n-1)

Podemos checar as contas pedindo para o Wolfram simplificar a expressão para nós:

n!/(n-2)!

Descendo um pouco a página, no campo Alternate form encontramos o resultado (n-1) n, indicando que meu resultado está correto!

 

Exemplo 5: (UNICAMP) Determine o resto da divisão de x100 + x + 1 por x2 - 1.

Sugestão: para checar esse é super fácil! É só pedir para o Wolfram dividir os dois polinômios que ele já trás essa informação:

(x^100 + x + 1) / (x^2 - 1)

Rolando a tela e procurando o bloco Quotient and remainder (quociente e resto), encontramos a fatoração do polinômio x100 + x + 1 utilizando x2 - 1 como um dos fatores. O primeiro bloco (lotado de x elevado a algum número) se refere ao quociente (ainda bem que a UNICAMP foi boazinha e não pediu para calcularmos o quociente ) e o segundo bloco se refere ao resto 2+x que é a resposta do problema!

 

E isso tudo são apenas algumas sugestões de uso dessa poderosa ferramenta focando só em matemática de ensino médio. Há muitos outros usos interessantes para se fazer com ela. Uma idéia legal e ir na Galeria de Exemplos e fuçar nos exemplos de uso que o próprio site oferece e usar a criatividade.

E você, utiliza o Wolfram para outros estudos que não seja matemática? Como utiliza?

Na época em que eu estudava no primário, sempre estudava para as provas com apenas uns 2 ou 3 dias de antecedência e o estudo consistia de decoreba pura. As professoras passavam um questionário com umas 10 questões e as respostas possuiam em média 2 linhas. Como caiam exatamente as mesmas 10 questões, a chave para o sucesso nas provas era fazer uma bateria de testes em cima das questões algum tempo antes da prova e pronto, mais um 10 para a coleção.

Lembro que naquela época, e mesmo alguns anos depois, as professoras sugeriam que não era necessário ter todo um trabalho para decorar o conteúdo, e que bastava entender o que estava sendo aprendido. Como decorar sempre me pareceu trabalhoso e chato, eu fiquei interessado em tentar apenas entender a matéria toda ao invés de gastar horas lendo a mesma coisa e testando minha memória nelas. Acho que era meu espírito procrastinador dando sinais de vida.

Como resultado, eu consegui tirar alguma nota, mas não fui tão bem quanto antes. Afinal, eu entendia o que estava sendo explicado para mim na hora, mas quem disse que eu me lembrava de tudo aquilo depois? Eu ainda apanhei um bocado com esse método, até finalmente desistir dele.

Já no ensino médio e no cursinho, sobretudo quando estudava ciências, passei a conhecer aquelas fórmulas e suas expressões mneumônicas como “sorvete – equação horária do espaço para movimentos retilíneos uniformes: s = s_0 + vt”, “Meu velho tio mandou Júnior saborear umas nove pizzas. – Para lembrar os nomes dos planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão (que ainda era um planeta na época))”, ou “Axô, biô prucê! – Fórmula para distância de ponto à reta: d = (|ax₀ + by₀ + c|)/raiz(a² + b²)”.

Essas técnicas mneumônicas sempre fizeram sucesso pois muitas são engraçadinhas e, sobretudo, te ajudam de verdade a lembrar das fórmulas ou nomes de coisas. Algumas não fazem sentido algum (como: VLAVAAV – As sete cores do arco-íris: vermelho, laranja, amarelo, verde, anil, azul, violeta), mas parece que a sonoridade também ajuda na memorização.

Assim como o método anterior de “não decore, apenas entenda”, o método de bitolar [inserir definição de algum dicionário?] as fórmulas também não é de todo saudável, pois muita gente apenas decora as fórmulas e não se preocupa em entender como nem quando usar. Mas se um método não funciona, nem o outro, qual deve ser a melhor maneira de estudar então?

Solução: União dos Métodos

A solução para um estudo melhor, não consiste em escolher um dos dois métodos. Ao invés de optar entre um método ou outro, por que então não optar por um método e outro?

Hoje eu penso que a melhor maneira de encarar o estudo é primeiro entender sobre o objeto o qual se estuda e em seguida, treinar para que esse conhecimento adquirido não fuja da memória. É necessário forçar, tentar ir sempre além da zona de conforto.

Existem alguns exercícios de geometria, por exemplo, que é possível matar apenas utilizando semelhança de triângulos. Mas existe um conceito chamado Potência de Ponto que em determinados casos tornam alguns exercícios muito mais rápidos e fáceis de se resolver, precisando de menos conta. E eu sou totalmente a favor de utilizar conceitos mais avançados que evitem que eu faça muitas contas, pois quanto maior o número de contas maior é a chance de eu errá-las, sendo no lápis ou cometendo erros de digitação na calculadora. Mas eu sempre tinha dificuldade em decorar o conceito de potência de ponto, então eu nunca me preocupei muito com ele, já que as técnicas de semelhança de triângulos me eram muito confortáveis e matavam os exercícios. Porém agora na posição de professor, eu precisava aprender o conceito e também possui-lo de maneira rápida em minha mente caso fosse necessário usar. Entender como funcionava era simples, então o que eu fiz dali em diante foi evitar resolver os exercícios por semelhança de triângulos quando me parecesse óbvio que era possível resolver utilizando potência de ponto. E o resultado foi que hoje eu uso o conceito com naturalidade e tanta rapidez como faço com semelhança.

Por isso hoje eu considero importante utilizar ambos os métodos: primeiro entender e depois memorizar. Gosto de frisar na memorização pois o poder que ganhamos ao termos um conceito memorizado é muito grande, embora hoje memorizar ainda seja visto como algo prejudicial ao estudo, coisa que só o é se feito sem entender aquilo que está sendo estudado.